数学的解法之美、结论之美、绘图之美、体验之美

数学之美是指从数学里得出的美学。有数学家从数学中得到美的愉悦，形容数学是一种艺术形式，或是一种创造力活动，就如音乐和诗歌。伯特兰·罗素以下列文字形容他心中的数学之美：

"数学，正确看待时，不仅具有真理，还具有至高的美-一种冷而严峻的美，一种屹立不摇的美，如雕塑一般，一种不为我们软弱天性所动摇的美。也不像绘画或音乐有富丽堂皇的装饰，而是纯粹地崇高、绝对地完美，是最伟大的艺术，然而这是极其纯净的美，只有这个最伟大的艺术才能显示出最严格的完美。数学中一定能找到最卓越的试金石——超越自我时之喜悦感，如同写诗。"

保罗·埃尔德什认为数学不可言说：“为何数字美丽呢？这就像是在问为何贝多芬第九号交响曲美丽。若如你不知道为何，其他人也无法告诉你。我知道数字是美丽的，若它们不是美丽的话，世上也没有事物美丽了。”

解法之美 - Beauty in method

数学家形容一些独特的证明方法为“优美”。可以是指：

用了少量额外假设或之前结论的证明。极短的证明。由意外的方式推导出的证明（即由一表面上无关的定理或一群定理证明出另一结论）。基于新的及原本洞悉的证明。可轻易推至相似问题解决的证明方法。为了寻找优美的证明，数学家们常会寻求不同证明的方法，而第一个被找到的证明可能不是最好的。被找到最多不同证明方法的定理是勾股定理，已经有上百种的证明方法被发表了出来。另一个被用许多不同方法证明出来的定理是二次互反律的定理，仅高斯一人就给出了此定理8种不同的证明方法。推荐观看TED视频《证明勾股定理的有多少种方法呢？》。

以简单方法推论勾股定理

香港大学数学系退休副教授丁南侨说：“数学其中一种精神就系简洁，可以将复杂之事化繁为简，就系一种美感。好多自然界现象，原来都系由好简单之数学原理所支配，你会觉得该等事物好似被结晶化，你会觉得好珍惜。”。相反地，若结论是逻辑上正确，但包含有费工的计算、过度复杂的方法、极普通的处理方法或需依靠大量有力的公理或不被认为优美的之前结论，则称此为“丑陋”或“笨拙”。奥卡姆剃刀之概念亦认为越简单越好。

结论之美 - Beauty in Results

数学家在两个看似毫不相关的数学领域之中，找到恰当的关联性并推导出新的结论。这种结论通常被形容为“深奥的”。

因为很难得到“此结论是深奥”的共识，某些例子便常被引用来说明。其中一个为欧拉恒等式e^iπ + 1 = 0，它被费曼称为“数学内最著名的公式”。现代的例子则包含有建立起椭圆曲线与模形式之间关连性的谷山-志村定理（此结论使安德鲁·怀尔斯和罗伯特·郎兰兹得到了沃尔夫奖），和以弦理论接连了怪兽群与模函数的怪兽月光理论（理查·波杰蒂斯因此得到了菲尔兹奖）。

和“深奥的”相对之为“当然的”。一个当然的定理，是个可以由一个已知结论，经明显或简单的方法导出的结论；或者是只应用在如空集合等特定集合的结论。但有时一个定理的叙述亦可因其足够原始而被认为是深奥的。

绘图之美 - Beauty in Drawing

在座标平面或座标立体上绘制方程式，有时会画出很美的东西。

如曼德博集合由形如 f(x) = x + c 二次多项式迭代产生，当人们代入复数依据轨迹运动趋势赋予不同颜色后，便产生了无穷无尽、令人窒息的美丽。

体验之美 - Beauty in Experience

对于操纵数字和符号的一些喜好是从事任何数学相关的研修之必须要件。在科学及工程领域使用的数学工具，似乎都会在其技术社会和其科学哲学里主动地培育出美学。

对于大多数的数学家而言，数学之美最强烈的体验来自于积极地从事数学研究。以纯粹被动的方式研修数学，是很难从中得到乐趣的。在数学里，没有观众及听众。

伯特兰·罗素指这便是数学的“朴素之美”。

有些教师通过触感学习模式教授数学来鼓励学生参与。例如，学生通过游戏和活动来学习数学； 在一些数学课程中，学生观察其中模式、探索来制作自己的数学发现。

▲ 透过观察左面图形其中的模式学习素数和合数

再例如学习对称这个概念时，让学生们通过折叠一张正方形的纸，沿着折叠纸的边缘剪下他们自己选择模式图案来创造属于自己的雪花。当纸张展开时，对称的设计就会跃然纸上。就这样在一个日常的小学数学课堂上，对称性可以用一种艺术的方式呈现出来，学生们可以在数学中看到美丽的结果。