分数发展史趣谈

   “分数”一词大家都耳熟能详,但其渊源及发展可能就鲜有所闻了。人类历史上最早产生的数是自然数(正整数),以后在度量和均分时往往不能正好得到整 数的结果,这样就产生了分数。200多年前,瑞士数学家欧拉也在《通用算术》一书中说,要想把 7米长的一根绳子分成三等份是不可能的,因为找不到一个合适的数来表示它,如果把它分成三等份,每份是7/ 3米,是一种新的数,我们把它叫做分数。分数这个名称直观而生动地表示了这种数的特征,例如,一只西瓜四个人平均分,不把它分成相等的四块行吗?从这个例 子就可以看出,分数是度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的。

       最早使用分数的国家是中国。我国春秋时代(公元前 770年~前 476年)的《左传》中,规定了诸侯的都城大小:最大不可超过周文王国都的三分之一,中等的不可超过五分之一,小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规 定:一年的天数为三百六十五又四分之一《九章算术》是我国 1800多年前的一本数学专著,其中第一章《方田》里就讲了分数四则算法:约分、合分(分数加法)、减分(分数减法)、乘分(分数乘法)、除分(分数除 法)的法则,与我们现在的分数运算法则完全相同,另外,还记载了课分(比较分数大小)、平分(求分数的平均值)等关于分数的知识,是世界上最早的系统叙述 分数的著作。中国使用分数比其他国家要早出一千多年,并且用于社会生产和生活。

古埃及三千年的文明,是自南向北贯穿埃及全境的尼罗河恩施的。从莱茵德纸草书中我们发现,埃及人有一个重要而有趣的特点,喜欢使用单位分数,即形如 1/n 的分数。不仅如此,他们可以把任意一个真分数(小于 1的有理数)表示成若干不相同的单位分数之和。例如,2/5 =1/3 +1/5, 7/29=1/6 +1/24 +1/58+1/87 +1/232 。埃及人为何对单位分数情有独钟?我们就不得而知了。无论如何,利用单位分数,分数的四则运算得以进行了,尽管做起来比较麻烦。也正因为如此,才有了被后 人称埃及分数 (Egyptian fractions)的数学问题,这也是莱茵德纸草书中最有价值的问题。埃及分数属于数论的一个分支——不定方程(解的范围为整数、正整数、有理数或代数 整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数)。埃及分数引出了大量的问题,其中有许多至今尚未获得解决,同时它还不断产生新的问题。可以毫不 夸张地说,每年世界各国都有硕士、博士论文甚至大师们的工作是围绕着这个问题开展研究的。难怪 20世纪抽象艺术的开创者、俄国画家康定数学世界斯基说,“最古老的也是最现代的。”

早在公元前 2100多年,古代巴比伦人(现处伊拉克一带)由于创造了六十进制的计数制度,所以他们就使用了分母是 60的分数。

       分数的写法也经历了历史的变迁,古代分数的表示方法笨拙而复杂,以至于德国有句谚语形容一个人陷入绝境,就说:“掉到分数里去了”。我国古代先秦分 数表示法,虽形式多样,但表现方式极有规律。例如,《睡虎地秦墓竹简》中的“十牛以上而三分之一死”,《老子·德经》第五十章中的“出生入死,生之徒十有 三,死之徒十有三。而民之生,生而动,动皆之死地,亦十有三”,《左传》中的“十一分其室而以其五与之”等,其发展过程是量词在分数形式中的词序位置后移,最后发展成为汉语中最基本的表现形式:X分之X。我国古代在数学方1面用“ 1/111 ”表示1/3 。

       巴比伦人用进位计数法表示分数,例如 作为分数来记时,可以表示20/ 60,而 作为分数来记(其中表示 20,表示 60),可表示21 /60或20/ 60 +1/602(六十进制分数,即小于一的数,用六十乘幂的逆方幂表示,这种写法仍为希腊人所采用,并且一直沿用到十六世纪文艺复兴时的欧洲。)少数几个分数有其特定记号,例如, 这些特殊分数 1/2,1/3 ,2/3对巴比伦人来说,在量的度量意义上是做为“整体”看待的,而不是一的几分之几。

      埃及数系中分数的记法比我们今日的复杂得多,记号 读作 ro,原表示浦式耳(谷物容量,一蒲式耳合八加仑),埃及人用来表示一个分数,在僧侣文中把卵形改成一个点,卵形 或点通常记在整数上,表明它是个分数,例如在象形文字写法中, 少数几个分数用特殊记号表示,如象形记号 表示1/ 2,表示 2/3,表示1/4。

      古希腊人表示分数也有其独特的风格,他们用特殊记号 L''表示 , 其中 =1, =2, =3。写小的分数时在分子上加一重音符号,然后把分母写一次或两次,每次加两个重音符号,例如,lr'k ''k '' (其中 l=10, =9,k=20),当分子大于一时,古希腊人把这种分数写成单位分数之和,例如,把 163/224写成,也用 及其他式子表示同一分数,加号省略不写。 在数学史上,希腊人的后继者是印度人。印度人用六十进制记法表示天文上的分数,其他方面的分数他们用整数之比来表示,但没有用横线。

       阿拉伯人采用并改进了印度的数字记号和进位记法,他们把这些数字记号表示整数和普通分数(在印度方案上加一横线),用于数学课本上,把按照希腊格式 的阿拉伯字母数字用于天文书上,在天文上他们仍效仿用六十进位制的分数。一直到 12世纪,阿拉伯人发明了分数线,分数就成了今天这个样子。

       我们现代人看来很简单的分数,却是几千年来古今中外的学者历经艰辛创造的科学成果。可见,在攀登科学的高峰上,我们要不断回过头来学习了解前人的辉 煌成就,站在更高的起点看待现代科学。正如 Hermann Weyl(外尔,德国数学家)所说:“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果,我们就不可能理解近五十年来数学的目标,也不可能理 解他们的成就。”

 

 


时间:2019年11月05日    作者:源思维    分类:数学   浏览:4797    

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