一、数学起源
1． 希腊人发现了推理的作用
古典时期（公元前600－前300年）的希腊人，认识到人类有智慧、有思维，能够发现真理。
2． 最早提出自然界数学模式的是以毕达哥拉斯（Pythagoras）为领袖的座落于意大利南部的毕达哥拉斯学派。
3． 继毕达哥拉斯学派之后，最有影响的是由柏拉图学派，他控制了公元前4世纪这一重要时期希腊人的思想，他是雅典柏拉图学院的创立者，存在了九百年之久。
4． 亚里士多德是柏拉图的学生，他批评柏拉图的冥世思想以及把科学归结为数学的认识。他是一个物理学家，他相信真正的知识是从感性的经验通过直观和抽象而获得。
他认为，基本概念应该是不可定义的，否则就没有起始点。他又区分了公理和公设。
公理――对所有思想领域皆真。
公设――适用于专业学科，如几何学。
5． 欧几里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）、丢番图等属于希腊文化的第二个重要时期，亚历山大里亚时期（公元前300年－公元600年）
欧几里得（公元前约300年），他的代表作《几何原本》是一本集希腊数学大成的巨著，成为两千年来用公理法建立演绎的数学体系的典范。
二、数学的繁荣（文艺复兴（15世纪初到17世纪的200年）
1． 希腊人的宗旨――自然是依数学设计的，与文艺复兴时的信念――上帝是这个设计的作者，融汇在一起，统治了欧洲。
2． 笛卡儿（Descartes，1596－1650）
被誉为数学王冠上的明珠之一，但他首先是一个哲学家，其次是宇宙学家，第三是物理学家，第四是生物学家，第五才是数学家。
极其敏锐的直觉和对结果的演绎――这就是笛卡儿认识哲学的实质。
笛卡儿认为：思维只有两种方法，这就是：直觉和演绎。
笛卡儿对数学本并没有提出什么新定理，但他却提供了一种非常有效的研究方法，即《解释几何》。
在科学上，笛卡儿的贡献，虽然不如像哥白尼、开普勒以及牛顿那样辉煌灿烂，但也不容轻视。
3． 帕斯卡（Pascal）：是17世纪伟大的数学家之一。
4． 伽利略与笛卡尔齐名，他的主要贡献是他在科学方法上的许多变革。
a) 他要研究和证明的是一些运动的性质而不考虑为会什么会这样。
b) 他坚持向自然科学家提议：不要研究为什么会这样，只要讨论怎样定量描述。
c) 他的另一个原则是：科学的任一分支都可用数学模型模仿出来。
5． 牛顿是剑桥大学的数学教授，被称为最伟大的数学家之一，牛顿认为数学是枯燥和乏味的，只是表述自然定律的一种工具。
牛顿的真正的成就在于证明了开普勒经过多年观测和研究得出的开普勒三定律可以由万有引力定律和运动三定律用数学方法推导出来。拉普拉斯曾说过，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。
6．
莱布尼茨（Leibnitz，1646－1716，法国数学家），主要是个哲学家，他多才多艺，对数学、科学、历史、逻辑学、法律、外交和神学的贡献都是首屈一指的。
7． 欧拉（Euler，1707－1783，瑞士），是18世纪最伟大的数学家，也是数学史上最多产的数学家，其论著几乎涉及18世纪所有的数学分支。
欧拉认为所有自然现象之所以表现如此，是因为它们要使某些函数达到极大或极小，因而，基本的物理原理应包括达到极大或极小的函数。
△数学支配一切，18世纪最伟大的智者对此深信不疑。
三、第一场灾难：真理的丧失（非欧几何和四元数的发现）
1． 进入19世纪，数学界正是一派祥瑞景象：
1) 拉格朗日：仍然活跃在数学界；
2) 拉普拉斯：正处在他智力的顶峰时期；
3) 傅立叶：至力于热的传导研究，他发展了无穷三角级数――现称为傅立叶级数的理论。对他的工作无论用什么词来赞誉都不过分。
4) 高斯（Gauss）：发表了他的《算术研究》（1801），这是关于数论的一个里程碑，赢得了数学王子的雅称。
5) 柯西（Cauchy）：他的数学论文超过700篇，仅次于欧拉，能与高斯匹敌。
2． 到1800年时上帝的存在越来越不被感觉到，然而当时的数学家们还是相信严格的数学真理和自然界的数学法则，在所有的数学分支中，欧氏几何最受推崇。
“上帝”所攻击的正是欧氏几何。
达兰贝尔在1759年解平行公理问题是“几何原理中的家丑”
3． 非欧几何的产生：
1) 1813年起，高斯开始发展他的非欧几何。
2) 创造非欧几何的人是罗巴切夫斯基。
3) 物理空间的几何可以是非欧几里得的，它的创建的是黎曼（Kieman），他是高斯的学生。
4． 高斯认为，真理存在于数中，它是算术、代数、微积分以及后续学科的基础。
雅可比（Jacobi）说：“上帝一直在进行算术化”。一直到1850年，算术在科学上远比几何使用得更为广泛，不幸的是毁灭性的事情接踵而来。
5． 从16世纪开始，数学家们就在使用微量的概念了。
复数被用作向量代数――二维数
用什么来表示空间中某种三维数的向量及其代数运算呢？
6． 四元数的引入：
1)
1843年，哈密尔顿提出了一个有用的复数的空间类似物，为此他困惑了15年。他的新数包含四个分量，其次，他不得不牺牲了乘法交换律。他把这种数叫做四元数。
（a+bi+ci+dk）
2) 四元数的引入给了数学家们又一次震动。它是一个确实有用途的代数，却不具备所有实数和复数的基本性质，即ab=ba
3) 继四元数后不久，数学家们引入了更奇怪的代数，如，著名代数几何学家凯莱引进了矩阵，它是矩形或正方形数组。
4)
对算术真理的最严重打击来自于亥姆霍兹（Helmholtz）他的结论是：只有经验能告诉我们算术的法则能用在哪里，我们并不能肯定一条先验公式是否在任何情况下都适用。
如，分数的加法运算在计算平均速度时，就有
7． 数学中没有真理，即作为现实世界普适法则。
希腊人试图从几条自明的真理出发和仅仅使用演绎的证明方法来保证数学的真实性被证明是徒劳的。
1）
数学并不是一堆天然的钻石，而不过是人工宝石，某些领域的经验启发特定的公理，在这些领域，这些公理及真逻辑结果能够非常精确地作有价值的描述。但是，一旦这一领域扩展了，这种适用性就可能失去。
2） 既然数学家们已经放弃了上帝，我们就应该相信人。自然法则是人的创造物，是我们，而不是上帝，才是宇宙法则的制定者，自然法则是人的描述而不是上帝的命令。
3） 1750年数学家们可以这样夸耀他们的发明：
沐浴着上帝的光芒，
我们走向四面八方。
到了1850年，他们不得不沮丧地承认
不管我走到哪里，
尘世中这条路已不再荣光。
4） 这段历史并不会令人失望，伽罗瓦这样评论数学：
“数学是人的心智的工作，它注定要去探索而不是知道，去追求真理而不是发现真理”。
四、一门逻辑学科不合逻辑的发展——算术和代数的困境
1． 非欧几何正是导致欧氏几何之船倾覆的暗礁。
曾经被确信是坚实的土地，如今却被证明是一片沼泽。
2． 让我们看看数学的逻辑发展是如何进行的吧。
1) 亚历山大里亚希腊人自由地使用从埃及人和巴比伦人那里继承来的，没有逻辑基础的算术和代数。
2) 古希腊人给后人两门截然不同的、发展得不一样的数学分支：一方面是演绎的、系统的、但有些缺陷的几何，另一方面则是经验算术及其延展代数。
3) 在阿拉伯人最终毁灭了亚历山大里亚希腊文明以后，印度人和阿拉伯人成为数学的执牛耳者。
4) 印度人引入了负数来表示负债，这一举动加重了数学家们逻辑上的苦恼，印度人注重的是算术和计算方面，而不是演绎结构。
印度人有一些不错的思想，例如，
① 数字1到9用独立的记号表示
② 将六十进制化为十进制
③ 负数，把0当作一个数来对待。
所以，印度人的工作扩充了建立在经验和直觉基础上的那部分数学。
3． 在16、17世纪，并没有许多数学家承认负数
4． 无理数被自由地运用于文艺复兴时期的一个新发明，
对数之中，而无理数究竟是不是真正的数也困扰着这些使用者。
5． 当欧洲人还没有从无理数与负数的困境中摆脱出来时，他们又糊里糊涂地陷入了我们现在称之为复数的泥沼之中。
6． 韦达是第一个有意识地系统地使用字母的人，字母的主要新用途不仅是用于表示未知量的幂，而且用以表示一般的系数。
7． 代数的产生：
1)
直到17世纪代数的威力才被逐渐认识到，笛卡尔和费马迈出了举足轻重珠一步，这就是坐标几何的产生（代数几何）。其基本思想是：曲线显然可以用方程来表示。
2) 第二个将代数推向前台的创举是运用代数公式表示函数。
3) 代数的自由使用激起众怒，直到1750年，人们才得以放心大胆地运用代数。
4) 几何学是公元前300年前用演绎的方法建立起来的，但算术与代数学都怎么也找不到逻辑基础。科学的需要战胜了逻辑上的顾忌。
8． 数学家们为什么没有发展一个数与代数的演绎推导结构呢？这是因为几何的概念、公理和原理从直观上看，远比算术和代数的易于接受，作图可辅助解释结构。
但无理数、负数和复数的概念都微妙得多，即使可以得到图形，也无法解释数字作为数和建立于数学基础上的字母表示法的逻辑结构。
五、分析的困境
1． 以微积分为核心的分析是建立在算术与代数虚构的逻辑基础及欧几里得几何有争议的基础之上的。
2． 17世纪就随着微积分、算术及代数的一片混乱结束了。
3．
18世纪伟大的数学家不仅极大地扩展了微积分学而且从中导出了一些全新的学科：无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法及复变函数――这些统称为分析的学科。从微积分到这些新分支的扩展引入了新概念、新方法，使得微积分的严密性问题更加复杂。
对无穷级数的处理也许可以用来解释一下这些新的麻烦
于是，① 当 时
即 问题出在：
1) 如何讨论级数的求和？收敛和发散？
2) 有限运算和无限运算有何区别？
4． 几何18世纪的每位数学家都在微积分的逻辑上做了努力，但他们的努力都是没有多大用处的。
人们很难区别很大的数与无穷数；有限项的积与积分也很难区分，数学家们在有限与无限之间随意通行。
策积分变为“计算与度量一个其存在性是不可思议的事物的艺术”。
5． 18世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础上的分析的其它分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中。
六、19世纪的困境（逻辑基础）
1． 无理数，可看作是直线上的点，对它的作用，人们没有异议，直观上难以接受的是负数和复数。
1) 柯西，最伟大的数学家之一，在19世纪初创立了复变函数理论，但不同意把表达式 当作数。
2) 哈密尔顿，这位伟大数学家，也不愿意接受负数和复数
3) 高斯，在他的著作中，并不愿意承认复数。
2． 19世纪上半期，人们注意到代数也缺乏逻辑基础，主要问题是字母被用来表示各类数并参与运算。
3．
除了代数，19世纪早期的分析也处于逻辑困境中，所有分析的基础就是连续函数和函数导数的概念。直观上，一个连续函数应在任何一点都有导数存在，不幸的是，这是错误的。
4．
19世纪任何一门数学在逻辑上都是得不到保证的。实数系、代数学、欧氏几何，新出现的非欧几何和射影几何，它们要么逻辑不完善，要么根本就没有。
5．
在所有的数学工作中，存在强烈的直觉作用，基本概念和方法总是在对结论合理的证明以前很久就被直觉捕捉到了，伟大人物的直觉比凡人的推演论证更为可靠。
七、天堂之门（数学的严格化运动）
1． 柯西决定在数的基础上建立微积分逻辑，把微积分建立在极限的概念上。
2． 在分析严密化方面，主要的成就归功于另一位大师魏尔斯特拉斯（Weierstrass）。
3．
大约1890年左右，在埃及人和巴比伦人使用整数、分数和无理数六千年后，数学家们终于可以证明2+2＝4。
4．
大约1900年为止，算术、代数和（建立在整数公理基础上的）分析及（以点、线和其它几何概念为基础的）几何已经被严密化。
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△接下来的问题纠缠于逻辑，即在由一个数学步骤推出另一个中的推理原理
1． 逻辑学是由亚里士多德在他的《工具篇》中奠定的。他的基本原理之一就是排中律－即所有有意义的断言非真即假。
亚里士多德的逻辑主要由三段论构成
2． 莱布尼茨的普遍逻辑构想：
1）符号化 2）推理演算 3）基本概念的组合
3． 布尔（George Boole），引入了命题逻辑
皮尔斯：有效地引进了命题函数这一概念，还引入了所谓的“量词”从而引进了一阶逻辑。
弗雷格（Gottlob Frege）（法）：在数学化逻辑的方向上迈出了19世纪的最关键一步。他引入了一个更广泛的蕴涵概念。
4． 在20世纪初公理化方法被认为是完美的，没有人比希尔伯特对它更为推崇了，他是当时世界上顶尖的数学家。
5． 事实上，所有的这些公理化结构和严密所做的无非是证明了数学家所知道的那些东西确实是那样的。
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所有的这些意味着数学并非建立在逻辑之上而是建立在健全的直觉之上。
逻辑是数学家们想要保证健康和强壮的卫生手段。
△ 回顾数学上几次危机：
1）无理数 2）微积分 3）非欧几何 4）四元数
△ 在1900年巴黎举行的第二届国际数学大会上，希尔伯特清醒地认识到数学基础中的漏洞并未完全堵住，他提出了数学发展中最重要的23个问题。
第一个问题：
1）康托尔引入了超限数来表示无限集中元素的个数。
2）证明：整数个数这一超限数之后，第二大超限数是所有实数的个数。
八、天堂受阻：理性的新危机（无穷集合）
1． 到1900年，数学家们近似乎已经赋予了他们的学科一种理想的结构。
① 他们最终承认了未定义概念的必需。
② 正确、严谨、演绎的证明取代了基于直觉成经验的结论。
③ 逻辑学的原理用以完善数学家们过去常用的那种不正规的、不清晰的证明方式。
但，“当大厦即将竣工的时候，基础却崩溃了”
2． 导致矛盾并让人大开眼界的新理念是关于无穷集合的康托尔证明了：
1) 整数集，他用符号 （阿列夫零）来表示这个基数。
2) 实数集，大于整数集，他用符号C来表示其基数。
3) 对于一个任意给定的集合，总存在一个比它更大的集合。
4) 5) 已知集合的所有子集构成的集合，其基数大于这已知集合的基数。
6) 所有集合组成的集合，它的基数应该是能存在的最大数了。
“悖论”――存在着一个比最大数还要大的超限数。
3．“理发师”悖论：
一个乡村理发师，宣称他不给村里任何给自己刮脸的人刮脸，但却给所有不给自己刮脸的人刮脸。
问题是：他是否应当给自己刮脸？
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“全部”这个词的意义是含混的
4．“连续统假设”
在 和C之间不存在其它超限数，或实数的任意无限子集的基数是 或C。
八、自然的权威
1．
决定数学的合理性的不是能在某一天被证明是正确的某一种基础，数学在物理世界中的应用决定其“正确性”。数学和牛顿力学一样是一门经验科学。当它有效时，就是正确的，若其无效，则须加以修正。
2．
数学的任何一个分支都只提供一个可用的理论。只要它可用一天，我们就须使用它一天，但将来也许会需要一个更好的理论。数学是人和自然的中介，它是我们自身与外界之间的一座充满险阻、令人生畏的桥梁。
3． 科学是合理化的虚构，而正是数学使之合理化。
数学在现代科学中的作用远不只是一种主要工具。用记号和公式将那些通过实验在物理上观察和建立起来的东西一般化、系统化，然后再从公式中推导出另外一些信息，这就是人们所经常描述的数学的作用。
4． 数学具有一种表示和预言实际现象的令人难以置信的精度。
5． 音乐能激起或平静人的心灵，绘画能愉悦人的视觉，诗歌能激发人的感情，哲学能使思想得到满足，工程技术能改善人的物质生活，而数学则能够做到所有的一切。